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推广后的柯西积分定理和柯西积分公式条件一样，都是区域内解析，边界上连续就可以用；
但由于表达式的不同，柯西积分定理主要是用闭曲线上积分为0这个性质，也就是积分与路径无关，与实分析里的格林公式类似；
柯西积分公式则是利用闭曲线的积分计算曲线内部的函数值，没有积分为0这一条（因为积分公式的结构，被积函数在闭曲线内有一个奇点）；
所以要利用积分与路径无关的话，用柯西积分定理，要计算函数值的话，用柯西积分公式。
柯西分布是一个数学期望不存在的连续型概率分布。当随机变量X满足它的概率密度函数时，称X服从柯西分布。柯西分布也叫作柯西一洛伦兹分布，它是以奥古斯丁-路易-柯西与亨德里克-洛伦兹名字命名的连续概率分布。
柯西分布具有如下特点：
1、数学期望不存在。
2、方差不存在。
3、高阶矩均不存在。
4、柯西分布具有可加性
根据柯西序列的定义，对任意ε>0，存在正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|<ε。
于是取m=N+1，则当n>N时，|xn-xN+1|<ε。
解得xN+1-ε<xn<xN+1+ε，即当n>N时，{xn}既有上界又有下界，所以是有界的。
向上述数列中添加{xn}的前N项得到{xn}本身，则由于前N项都是确定的实数，不会改变{xn}的有界性（即使此时{xn}的上、下界发生变化）。故对任意正整数n，{xn}都是有界的。
在复变函数的积分里的例子可以发现，有的函数的积分只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的形状无关，而有的函数，其积分不仅与积分路径的起点与终点有关，而且与积分路径的形状也有关．深入观察后，可知，前一类函数是解析函数．由此，可提出猜想：解析函数的积分只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的形状无关．柯西在 1825 年给出此定理对猜想作了回答．也就是我们现在要介绍的柯西积分定理（Cauchy's integral theorem），也叫柯西—古萨定理（Cauchy–Goursat theorem）．
放松再慢慢升空，
被窝里做一个梦，
外面的噪音太多，
说什么dont wanna know，
我想要翻过山峰，
在乌托邦里穿梭，
没有人能打扰我，
造一座我的王国，
就关闭了所有讯号，
戴上耳机在我脑海里面寻宝 ，
再见了我的年少轻狂和莽撞 ，
再见那年夏天为你快的心跳，
much luv 4 ya，
再见我扬起了船帆，
我发誓要掀起点波澜，
对我家人朋友全都full of love，
背后风凉话的全都听好了，
我不会 被你的 一句话 放弃了自己 被打倒在地，
爸妈早 从小就 教育我 为人随和 隐藏我的脾气，
全都在看 满怀期盼 放松点脚步别乱了 ，
对失去的错过的落魄的全部都过去了 放下吧算了，
以前的我也很堕落，
浪费的时间都被埋没，
躲在了角落太懦弱，
机会偷偷流过我指缝没抓住，
想成为大家的焦点，
所以要把目标定的遥远，
漫漫的长路向前跑，
做一首歌来当作我的消遣，
放松再慢慢升空，
被窝里做一个梦，
外面的噪音太多，
说什么dont wanna know，
我想要翻过山峰，
在乌托邦里穿梭，
没有人能打扰我 ，
造一座我的王国 ，
在天上遨游我不需要飞机，
你停留原地对过去在回忆，
捉摸不透我往前进的轨迹，
一步一脚印把经验都堆积，
抚平了伤口 调整状态，
我打出了漂亮的回击，
透过了落地窗，
阳光在我身上，
就像是成功的回应，
放松再慢慢升空，
被窝里做一个梦，
外面的噪音太多，
说什么dont wanna know，
我想要翻过山峰，
在乌托邦里穿梭，
没有人能打扰我，
造一座我的王国。
柯西1789年8月21日出生于巴黎。父亲是一位精通古典文学的律师，与当时法国的大数学家拉格朗日与拉普拉斯交往密切。柯西少年时代的数学才华颇受这两位数学家的赞赏，并预言柯西日后必成大器。
在法国革命中辗转的数学家
1830年法国爆发了推翻波旁王朝的革命，法王查理第十仓皇逃走，奥尔良公爵路易·菲力浦继任法王。当时规定在法国担任公职必须宣誓对新法王效忠，由于柯西属于拥护波旁王朝的正统派，他拒绝宣誓效忠，并自行离开法国。他先到瑞士，后于1832～1833年任意大利都灵大学数学物理教授，并参加当地科学院的学术活动。那时他研究了复变函数的级数展开和微分方程(强级数法)，并为此作出重要贡献。
1833～1838年柯西先在布拉格、后在戈尔兹担任波旁王朝“王储”波尔多公爵的教师，最后被授予“男爵”封号。在此期间，他的研究工作进行得较少。
1838年柯西回到巴黎。由于他没有宣誓对法王效忠，只能参加科学院的学术活动，不能担任教学工作。他在创办不久的法国科学院报告“和他自己编写的期刊分析及数学物理习题”上发表了关于复变函数、天体力学、弹性力学等方面的大批重要论文。
1848年法国又爆发了革命，路易·菲力浦倒台，重新建立了共和国，废除了公职人员对法王效忠的宣誓。柯西于1848年担任了巴黎大学数理天文学教授，重新进行他在法国高等学校中断了18年的教学工作。
1852年拿破仑第三发动政变，法国从共和国变成了帝国，恢复了公职人员对新政权的效忠宣誓，柯西立即向巴黎大学辞职。后来拿破仑第三特准免除他和物理学家阿拉果的忠诚宣誓。于是柯西得以继续进行所担任的教学工作，直到1857年他在巴黎近郊逝世时为止。柯西直到逝世前仍不断参加学术活动，不断发表科学论文。
1857年5月23日，他突然去世，享年68岁，他因为热病去世，临终前，他还与巴黎大主教在说话，他说的最后一句话是：“人总是要死的，但是，他们的功绩永存。”
柯西的成就
柯西是一位著名的多产数学家，他的全集从1882年开始出版到1974年才出齐最后一卷，总计28卷。他的主要贡献如下：
单复变函数
柯西最重要和最有首创性的工作是关于单复变函数论的。18世纪的数学家们采用过上、下限是虚数的定积分。但没有给出明确的定义。柯西首先阐明了有关概念，并且用这种积分来研究多种多样的问题，如实定积分的计算，级数与无穷乘积的展开，用含参变量的积分表示微分方程的解等等。
分析基础
柯西在综合工科学校所授分析课程及有关教材给数学界造成了极大的影响。自从牛顿和莱布尼茨发明微积分(即无穷小分析，简称分析)以来，这门学科的理论基础是模糊的。为了进一步发展，必须建立严格的理论。柯西为此首先成功地建立了极限论。
其他虽然柯西主要研究分析，但在数学中各领域都有贡献。关于用到数学的其他学科，他在天文和光学方面的成果是次要的，可是他却是数理弹性理论的奠基人之一。
除以上所述外，他在数学中其他贡献如下：
分析方面：在一阶偏微分方程论中行进丁特征线的基本概念;认识到傅立叶变换在解微分方程中的作用等等。
几何方面：开创了积分几何，得到了把平面凸曲线的长用它在平面直线上一些正交投影表示出来的公式。
代数方面：首先证明了阶数超过了的矩阵有特征值;与比内同时发现两行列式相乘的公式，首先明确提出置换群概念，并得到群论中的一些非平凡的结果;独立发现了所谓“代数要领”，即格拉斯曼的外代数原理。
这是一个关于复平面上全纯函数的路径积分的重要定理。
阿柯西定理说明，如果从一点到另一点有两个不同的路径，而函数在两个路径之间处处是全纯的，则函数的两个路径积分是相等的。另一个等价的说法是，单连通闭合区域上的全纯函数沿着任何可求长闭合曲线的积分是0。
柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了收敛的充分必要条件，判断一个数列收敛的充分必要条件是，这个数列是基本列。
柯西极限存在准则，又称柯西收敛准则，是用来判断某个式子是否收敛的充要条件（不限于数列），主要应用在以下方面：
（1）数列
（2）数项级数
（3）函数
（4）反常积分
（5）函数列和函数项级数
柯西高达可以说是大型机动战士最后的荣光了，而他也是在马夫蒂叛乱中，混得风生水起，只可惜最后哈撒韦被杀，
