首先，我认为这个话题在数学和哲学思想领域的回答可能有所区别和不同，因此需要分开作答。
我仅从数学角度来谈极限。对于极限，我们最直接的理解就是高等数学里用来求解的题目。这里讲一个著名的芝诺悖论：
阿基里斯是
荷马史诗中最善跑的英雄。
芝诺是一名
古希腊哲学家。
芝诺认为，
阿基里斯永远追不上乌龟。他的论证简要说来是这样的。
阿基里斯要追上乌龟，首先必须到达乌龟原来的起跑点。可他跑到乌龟的起跑点需要一定时间，因而当他跑到乌龟的起跑点时，乌龟已经前进了一段路了，于是他又必须花一定的时间赶到乌龟的新的所在的点。而当他赶到乌龟新的所在的点时，乌龟又已经前进了一段路了。因而如此下去，阿基里斯永远也追不上乌龟。
这个小故事问题到底出在哪里？阿基里斯追不上龟么？错！他当然可以，只要你给他足够的时间和距离。只是
芝诺走入了一个思维的死门，他想阐述无限接近这个概念，也就是
无穷小。如果非要按照芝诺的想法来思考的话，会进入一个循环里面，一切都是思考方式问题。
其实，如果我们把第一次阿基里斯追得距离记为x，那么第二次他追得距离就是0.5x，以此类推。形成一个等比数列（如果学过级数理论就是等比级数），我们会发现这个距离的极限是2x。也就算芝诺的概念只是2x这个距离的范围，因此在这个距离范围里肯定追不上。
因此，这里的2x范围就是我们所定义的极限成立的范围。由这个例子我们可以看出，极限就是在满足一定范围下（这个就是2x范围内），一组特征不断逼近一个特定值的过程。注意，这里说的是过程，因此极限逼近是个动态变化的过程，故采用过程这个词更为合适。
通过伽利略的惊人假设来理解什么是极限思维，极限思维的具体过程是如何进行的。情境是这样的：
1 ）如果你手中拿着一块石头，然后将手松开，石头就会下落。所有的东西都是这样。过去的物理学家说："重的东西有回到老家 ― ‵地球′的倾向。"
2 ）假如我推一个物体，比如一辆车，或者使一个球在水平面上向前滚动，球功了，并且会继续滚动一会儿，然后才静止不动。推得重，球就多走些；推得轻，球就早些停住。
3 ）这就是古老的外加力最简单的含义即亚里士多德的思路― "如果推动的力不再作用的话，运动的物体早晚总要停止不动。"伽利略并不满足，他反问自己："我们是否了解这些运动究竟是怎样进行的呢？"他怀着强烈的欲望，想探个究竟，他在想："我们知道重的物体下落，但它是怎样下落的呢？在下落中，物体获得速度，速度随着下落的距离的加大而不断加大。当物体下落时，速度到底会发生什么情况呢？
4 ）他想测出物体下落的距离与速度增加的关系，但由于下落的速度太快，不容易准确测定它的刻度值，这使他苦恼，能不能用别的方法呢？这时他忽然想到："难道不能用更方便的方法研究这个问题吗？圆球在斜面上向下滚动，我应该研究它。难道自由落体不就是一个特殊的例子吗？― 无非其下落角度不是小于90 度，便是正好等于90 度而已！"
5 ）他研究了不同情况下的加速度，发现倾角越小，加速度也越小：角的大小次序和加速度减慢的次序是对应的。当他发现倾斜角的大小与加速度的减慢与联系的原理，加速度便成为最重要的事实了。
6 ）这时，他忽然又反问自己："这不是图像的一半吗？如果向上抛东西，如果向上坡方向推动圆球，那么发生的情况不是和己有的图像对称吗？难道不是和镜中的映像相同，是已有图像的重复，同时又与它相互补充，而成为完整的图像吗？"当向上抛掷一个物体的时候，并没有正的加速度，而是负的加速度。在它上升运动的过程中，物体运动的速度就缓慢了下来。但是，和下落物体正的加速度相对称，随着倾斜角从直上方向的90度逐渐减小，负的加速度也逐渐减少，从而和卜面一半的图合成为一个密闭吻合的图形。当平面是水平的，倾斜角是零度，而物体仍在运动的时候，情形如何呢？在每种情况下，我们都是从一定的速度开始的。根据这个结构，必然发生什么情况呢？水平面以下是正的加速度，水平面以上是负的加速度... ... 有没有渐渐接近，既不是负的加速度也不是正的加速度呢？那不就是... ... 常速运动吗？！一个物体在一定的方向上水平运动，假如没有外力来改变它的运动状态，它将以匀速继续运动... ... 直到永恒。
7 ）但常识所看到的水平运动却并非如此，人们看到的还是― "外力加上去，球就运动，外力去掉，球就渐趋停止"。是否能再一次用极限假设的方法设计出一套实验让人信服呢？伽利略果真又设计出了一个实验，他知道用同样的外力推动小球，小球在不同光滑度的平面L 滚动的距离是不同的。那么，可否用极限思维假设平面越来越光滑，空气等其他阻力越来越小，以至最后理想化地把一切摩擦力全部消除，结果会怎样呢？是否会永远滚动下去呢？
8 ）经过思考，伽利略又设计出了一个极限推导的实验，假设摩擦力小到可以忽略时，当球滚下一个斜坡之后，由于惯性的作用，小球又可以滚上另一个斜面，直到和出发点一样高的地方。如果将上升方向的斜面逐渐延长，小球仍然能滚到同样的高度，说明小球的运动与斜面的倾斜度无关。那么，按极限假设法的逻辑，当把斜面最后延伸为一条永无止境的平面时，小球也将永恒地滚动下去。亚里士多德的被千百年来人们的常识所认定的"真理"终于在伽利略极限假设思维面前彻底崩溃了。
极限的思想是近代数学的一种重要思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
谢邀。现成的结论是：
1 概率为零的事件未必是不可能事件，同理概率为1的事件也未必是必然事件；
2 上面的那句话和和0.9 9循环=1半毛钱关系都没有；
3 上上面那句话和极限思想半毛钱关系都没有。并且上面那句话不涉及取极限，因为这是比取极限更为底层的东西。
真心感叹聊数学的门槛太低了，随便什么人什么都不懂都能讲，就像说没看过XXX书就不要谈文学\历史一样，真希望能说没看过XXX就别来谈某些数学问题。“无限大平面上随机放一个弹头”这听起来挺直观的，但是做到这些事情不是简单的数学。不管用电脑去算还是实际做实验，精度永远是有限的，实际生活中再复杂的例子也做不到真正意义上在一个平面上随机。有心的话看看概率论。
极限是表达一个点在邻域内的状况，是个局部值。
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。
极限思想作为一种数学思想,由远古的思想萌芽,到现在完整的极限理论,其漫长曲折的演变历程布满了众多数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求 的奋斗。
极限思想是微积分的基本思想ئ数学分析中的一系列重要概念ئ如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的.
按照我的理解，就是对数据完成多次分类，如同一棵树一样，从根开始，到主干、枝干、叶子……
完成无限极分类，主要运用了两种方法，一是递归方式，二是迭代方式。而主要运用无限极分类的地方有地址解析，面包屑导航等等。
两人坐在方桌旁，相继轮流往桌面上平放一枚同样大小的硬币。当最后桌面上只剩下一个位置时，谁放下最后一枚，谁就算胜了。
设两人都是高手，是先放者胜还是后放者胜？（G·波利亚称“由来已久的难题”） G·波利亚的精巧解法是“一猜二证”： 猜想（把问题极端化） 如果桌面小到只能放下一枚硬币，那么先放者必胜。 证明（利用对称性） 由于方桌有对称中心，先放者可将第一枚硬币占据桌面中心，以后每次都将硬币放在对方所放硬币关于桌面中心对称的位置，先放者必胜。
从波利亚的精巧解法中，我们可以看到，他是利用极限的思想考察问题的极端状态，探索出解题方向或转化途径。 极限思想是一种重要的数学思想，灵活地借助极限思想，可以避免复杂运算，探索解题新思路，现举五例说明极限思(摘抄 希望对你有所帮助）
中国古代极限思想的语句有很多，以下是部分诗句举例：《夏日绝句》宋·李清照：生当作人杰，死亦为鬼雄。至今思项羽，不肯过江东。《过零丁洋》宋·文天祥：辛苦遭逢起一经，干戈寥落四周星。山河破碎风飘絮，身世浮沉雨打萍。惶恐滩头说惶恐，零丁洋里叹零丁。人生自古谁无死，留取丹心照汗青。《龟虽寿》汉·曹操：神龟虽寿，犹有竟时。螣蛇乘雾，终为土灰。老骥伏枥，志在千里。烈士暮年，壮心不已。盈缩之期，不但在天。养怡之福，可得永年。幸甚至哉，歌以咏志。极限思想是中国古代哲学的重要组成部分，这些诗句体现了中国古代文人对人生、自然和宇宙的思考和感悟。
